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为了求解方程$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{N!}$$的正整数解的组数，我们可以按照以下步骤进行：
变形方程：将方程两边通分并整理得到$$xy - N!(x + y) = 0$$，进而因式分解为$$(x - N!)(y - N!) = (N!)^2$$。
变量替换：令$$a = x - N!$$和$$b = y - N!$$，则原方程变为$$ab = (N!)^2$$。
因数个数计算：问题转化为求$$(N!)^2$$的正因数个数。首先对$$N!$$进行质因数分解，得到各质因数的指数。然后将每个指数乘以2，并计算每个质因数的因数个数，最后求乘积。
质因数分解：使用埃拉托斯特尼筛法找出所有小于等于$$N$$的质数，并计算每个质数在$$N!$$中的指数。
计算因数个数：对于每个质因数，计算其在$$(N!)^2$$中的指数，并计算每个指数加1后的乘积，得到总因数个数。
以下是实现这一过程的代码：
#include#include using namespace std;#define MAX_N 1000010#define MAX_P_CNT 5000#define P 10^9 +7int GetPrime(int *prime, int n) { static bool NotPrime[MAX_N]; memset(NotPrime, false, sizeof(NotPrime)); int primeCnt = 0; for (int i = 2; i <= n; i++) { if (!NotPrime[i]) { prime[primeCnt++] = i; for (int j = 0; j < primeCnt; j++) { if (i * prime[j] > n) break; NotPrime[i * prime[j]] = true; if (i % prime[j] == 0) break; } } } return primeCnt;}int Proceed(int n, int *prime) { long long ans = 1; for (int i = 0; prime[i] <= n; i++) { long long k = 0; long long j = prime[i]; while (j <= n) { k += n / j; j *= prime[i]; } ans = (ans * (k * 2 + 1)) % P; } return ans;}int main() { int n; static int prime[MAX_N]; scanf("%d", &n); GetPrime(prime, n); printf("%d\n", Proceed(n, prime)); return 0;}
GetPrime函数：使用埃拉托斯特尼筛法找出所有小于等于$$n$$的质数，并存储在数组$$prime$$中。
Proceed函数：计算$$N!^2$$的因数个数。遍历每个质数，计算其在$$N!$$中的指数，并更新因数个数。
Main函数：读取输入$$n$$，调用GetPrime函数获取质数列表，然后调用Proceed函数计算并输出结果。
通过以上步骤，我们能够高效地计算出方程的正整数解的组数。
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